1 00:00:05,000 --> 00:00:10,000 Fléchettes et cerf-volants dans le ciel mathématique 2 00:00:10,000 --> 00:00:13,000 Le pavage de Penrose 3 00:00:13,000 --> 00:00:16,000 (http://frecceaquiloni.dmf.unicatt.it/) 4 00:00:18,000 --> 00:00:23,000 A. Musesti - M. Paolini 5 00:00:28,000 --> 00:00:31,000 Dept. de Mathématiques et Physique 6 00:00:31,000 --> 00:00:34,000 Université Catholique - Brescia 7 00:00:38,000 --> 00:00:42,000 crée en www.povray.org 8 00:00:55,000 --> 00:01:01,000 Le pavage de Penrose est un recouvrement NON PÉRIODIQUE du plan 9 00:01:01,000 --> 00:01:07,000 par deux types de pavés : les CERF-VOLANTS (pavés clairs) et les FLÉCHETTES (pavés foncés). 10 00:01:07,000 --> 00:01:13,000 Ce qui est vraiment particulier pour ce pavage, 11 00:01:13,000 --> 00:01:19,000 c'est qu'on ne peut pas utiliser ses deux pavés pour obtenir des pavages périodiques. 12 00:01:19,000 --> 00:01:23,000 Nous allons maintenant expliquer ce qu'est un pavage non périodique 13 00:01:23,000 --> 00:01:27,000 et il va falloir introduire les contraintes de contiguïté entre les pavés 14 00:01:27,000 --> 00:01:30,000 pour assurer qu'il soit bien non périodique. 15 00:01:30,000 --> 00:01:35,000 la construction des cerfs-volants et des fléchettes 16 00:01:36,000 --> 00:01:42,000 On peut construire les deux pavés, le "cerf-volant" et "la fléchette" 17 00:01:42,000 --> 00:01:48,000 à partir d'un décagone régulier de côté 1 et de rayon 1.618... (le nombre d'or) 18 00:01:48,000 --> 00:01:52,000 selon les règles montrées dans l'animation. 19 00:01:55,000 --> 00:02:01,000 De manière surprenante, on tombe sur l'omniprésent nombre d'or. 20 00:02:05,000 --> 00:02:10,000 Voici la fléchette 21 00:02:13,000 --> 00:02:18,000 et voici le cerf-volant. 22 00:02:20,000 --> 00:02:25,000 pavage périodique 23 00:02:25,000 --> 00:02:31,000 Il est très simple de couvrir tout le plan avec les deux pavés : 24 00:02:31,000 --> 00:02:37,000 on peut les accoler facilement 25 00:02:37,000 --> 00:02:43,000 pour former un losange (de côté 1.618...). 26 00:02:43,000 --> 00:02:49,000 Mais on obtient ainsi un pavage périodique : 27 00:02:49,000 --> 00:02:55,000 comme vous voyez, les pavés peuvent bouger dans de nombreuses directions 28 00:02:55,000 --> 00:03:01,000 sans pour autant affecter le patron original. 29 00:03:05,000 --> 00:03:11,000 Pour qu'un pavage soit périodique, il faut qu'on puisse faire des translations dans au moins deux directions 30 00:03:11,000 --> 00:03:17,000 sans changer le patron original. 31 00:03:25,000 --> 00:03:31,000 Pour un pavage fait de losanges, il y a encore d'autres symétries, par exemple des rotations de 180 degrés. 32 00:03:35,000 --> 00:03:41,000 Pour notre pavage périodique, les rotations ne sont pas des symétries 33 00:03:45,000 --> 00:03:51,000 car les couleurs changent et on n'obtient plus le patron original. 34 00:04:06,000 --> 00:04:11,000 À remarquer que les symétries doivent bouger tous les pavés, pas seulement quelques-uns. 35 00:04:11,000 --> 00:04:16,000 Dans ce cas, on obtient le groupe de symétrie qu'on appelle "cm" en cristallographie. 36 00:04:16,000 --> 00:04:20,000 Nous pouvons obtenir toutes les symétries possibles en combinant deux translations 37 00:04:20,000 --> 00:04:24,000 et une réflexion autour d'un axe vertical. 38 00:04:25,000 --> 00:04:30,000 Évidemment, on peut aussi choisir d'autres "générateurs". 39 00:04:30,000 --> 00:04:35,000 Une rotation de 180 degrés autour d'un losange ne convient pas ! 40 00:04:35,000 --> 00:04:40,000 Il faut prendre un pavage qui n'a que des losanges 41 00:04:40,000 --> 00:04:45,000 pour obtenir le groupe "cmm". 42 00:04:55,000 --> 00:05:00,000 contraintes de contiguïté 43 00:05:00,000 --> 00:05:06,000 Pour éviter un pavage périodique, on peut prendre des pavés comme des pièces d'un puzzle 44 00:05:06,000 --> 00:05:09,000 comme vous voyez dans l'animation. 45 00:05:12,000 --> 00:05:18,000 À présent nous allons supposer que les pavés sont de cette forme, même si on ne le montre pas. 46 00:05:24,000 --> 00:05:29,000 essais et échecs 47 00:05:30,000 --> 00:05:36,000 Il n'est plus possible d'agencer les cerf-volants et les fléchettes pour former des losanges 48 00:05:36,000 --> 00:05:42,000 mais il est toujours possible (au moins à la main) de recouvrir tout le plan. 49 00:05:59,000 --> 00:06:05,000 Comment s'assurer qu'il est vraiment possible de recouvrir tout le plan sans laisser de trous ? 50 00:06:07,000 --> 00:06:13,000 Nous allons décrire un algorithme qui ne laisse pas de trous. 51 00:06:13,000 --> 00:06:18,000 casser les pavés 52 00:06:18,000 --> 00:06:23,000 À la première étape, nous divisons les pavés en deux, ce qui donne deux triangles isocèles. 53 00:06:23,000 --> 00:06:29,000 Cerf-volant : deux triangles isocèles aigus. 54 00:06:29,000 --> 00:06:35,000 Fléchette : deux triangles isocèles obtus. 55 00:06:38,000 --> 00:06:43,000 triangles d'or 56 00:06:43,000 --> 00:06:49,000 L'animation montre que les côtés des triangles sont dans les proportions du nombre d'or. 57 00:06:51,000 --> 00:06:57,000 Triangles aigus : base = 1, côté = 1.618... 58 00:07:03,000 --> 00:07:08,000 Triangles obtus : côté = 1, base = 1.618... 59 00:07:08,000 --> 00:07:13,000 subdivision 60 00:07:26,000 --> 00:07:32,000 L'idée générale, c'est de diviser les triangles en copies plus petites. 61 00:07:43,000 --> 00:07:47,000 Triangles aigus : deux triangles aigus et un triangle obtus. 62 00:07:47,000 --> 00:07:55,000 Triangles obtus : un triangle obtus et un triangle aigu. 63 00:07:58,000 --> 00:08:03,000 contraction, dilatation 64 00:08:04,000 --> 00:08:07,000 Appliquons l'algorithme... 65 00:08:07,000 --> 00:08:12,000 On commence avec n'importe quelle configuration initiale (le point de départ), 66 00:08:12,000 --> 00:08:18,000 par exemple un décagone à cinq cerf-volants. 67 00:08:19,000 --> 00:08:25,000 Puis on applique l'algorithme de division sur chaque triangle pour obtenir un nouveau pavage. 68 00:08:27,000 --> 00:08:33,000 Regardez : les nouveaux triangles s'agencent ensemble et forment des cerf-volants et des fléchettes. 69 00:08:35,000 --> 00:08:39,000 Finalement, on agrandit pour obtenir la taille de départ 70 00:08:39,000 --> 00:08:42,000 et on répète la procédure encore une fois. 71 00:08:43,000 --> 00:08:47,000 On doit maintenant aussi diviser certains triangles obtus. 72 00:08:49,000 --> 00:08:55,000 La procédure doit satisfaire les contraintes de contiguïté. 73 00:08:56,000 --> 00:08:59,000 On agrandit de nouveau pour obtenir la taille originale. 74 00:09:00,000 --> 00:09:03,000 Troisième itération... 75 00:09:20,000 --> 00:09:23,000 Quatrième itération... 76 00:09:33,000 --> 00:09:39,000 Un décagone central exactement comme le décagone original est apparu ! 77 00:09:40,000 --> 00:09:43,000 Cinquième itération... 78 00:10:00,000 --> 00:10:03,000 Sixième itération... 79 00:10:15,000 --> 00:10:18,000 Septième itération... 80 00:10:27,000 --> 00:10:30,000 Huitième itération... 81 00:10:33,000 --> 00:10:39,000 On peut continuer et paver une partie de plus en plus grande du plan. 82 00:10:44,000 --> 00:10:50,000 Voici le résultat après neuf itérations. 83 00:10:50,000 --> 00:10:56,000 Finalement, nous avons un algorithme qui permet de paver tout le plan en respectant les contraintes de contiguïté. 84 00:10:59,000 --> 00:11:04,000 symétries des pavages 85 00:11:05,000 --> 00:11:10,000 En partant de la configuration originale (un décagone à cinq cerf-volants), le pavage qui en résulte 86 00:11:10,000 --> 00:11:16,000 aura une symétrie de rotation (de 72 degrés) 87 00:11:22,000 --> 00:11:28,000 ainsi que des symétries axiales (des réflexions autour de cinq axes passant par le centre) 88 00:11:28,000 --> 00:11:34,000 comme vous pouvez le voir... 89 00:11:40,000 --> 00:11:46,000 Il y a exactement dix symétries qui forment le groupe dihédral "D5" (ce sont les symétries du pentagone régulier). 90 00:11:48,000 --> 00:11:55,000 On peut générer ce groupe par une rotation de 72 degrés 91 00:11:55,000 --> 00:12:02,000 et une réflexion autour d'un certain axe passant par le centre. 92 00:12:12,000 --> 00:12:17,000 oiseaux... et reptiles 93 00:12:17,000 --> 00:12:23,000 Nous pouvons modifier les silhouettes de la fléchette et du cerf-volant pour obtenir de nouveaux pavés 94 00:12:23,000 --> 00:12:26,000 dans l'esprit des oeuvres d'Escher. 95 00:12:32,000 --> 00:12:35,000 On place les nouvelles formes dans le pavage... 96 00:12:36,000 --> 00:12:42,000 La structure est la même qu'avec la fléchette et le cerf-volant. 97 00:13:10,000 --> 00:13:16,000 Voici le résultat après quelques itérations. 98 00:13:16,000 --> 00:13:21,000 losanges épais, losanges minces 99 00:13:21,000 --> 00:13:26,000 On peut construire un pavage remarquable avec deux losanges différents. 100 00:13:27,000 --> 00:13:31,000 Comme vous pouvez le voir dans l'animation ce pavage n'est pas étranger au pavage avec fléchettes et cerfs-volants. 101 00:13:32,000 --> 00:13:36,000 Les losanges sont divisés en deux triangles isocèles 102 00:13:36,000 --> 00:13:42,000 comme ceux qu'on a déjà vus, mais dans d'autres proportions. 103 00:14:00,000 --> 00:14:06,000 On peut appliquer notre algorithme à partir d'une subdivision bien choisie des triangles d'or 104 00:14:06,000 --> 00:14:10,000 de façon similaire à la division des fléchettes et cerf-volants. 105 00:14:10,000 --> 00:14:14,000 Après six itérations de l'algorithme, 106 00:14:14,000 --> 00:14:20,000 à partir dune configuration initiale bien choisie, 107 00:14:20,000 --> 00:14:26,000 nous obtenons le pavage avec des losanges... 108 00:14:55,000 --> 00:15:00,000 les pavés de Penrose originaux 109 00:15:00,000 --> 00:15:06,000 Roger Penrose a essayé de diviser un grand pentagone régulier en six pentagones plus petits 110 00:15:06,000 --> 00:15:10,000 dans une proportion égale au carré de l'inverse du nombre d'or. 111 00:15:10,000 --> 00:15:14,000 Si on répète la subdivision plusieurs fois, il reste des trous. 112 00:15:14,000 --> 00:15:18,000 Il y a des trous de la forme d'un pentagone régulier, donc on peut les inclure dans l'algorithme de subdivision. 113 00:15:18,000 --> 00:15:24,000 D'autres trous ont d'autres formes : losange, couronne, étoile. 114 00:15:24,000 --> 00:15:30,000 Les trois couleurs différentes aident pour repérer les contraintes de contiguïté 115 00:15:30,000 --> 00:15:33,000 et obtenir un pavage non périodique. 116 00:15:33,000 --> 00:15:39,000 On obtient ainsi un pavage non périodique à six pavés. 117 00:15:39,000 --> 00:15:48,000 On ne sait toujours pas s'il existe un pavage non périodique avec un seul pavé ! 118 00:15:50,000 --> 00:15:54,000 Fléchettes et cerf-volants dans le ciel mathématique 119 00:15:54,000 --> 00:15:58,000 En 1974, Roger Penrose a découvert les pavages fascinants qui portent son nom 120 00:15:58,000 --> 00:16:02,000 On y trouve un mélange surprenant de mathématiques, géométrie, physique et art 121 00:16:02,000 --> 00:16:06,000 La production de cette courte animation a été un travail à la fois exigeant et agréable.