1 00:00:05,000 --> 00:00:10,000 Frecis e acuilons intal cīl de matematiche 2 00:00:10,000 --> 00:00:13,000 La tasselazion di Penrose 3 00:00:13,000 --> 00:00:16,000 (http://frecceaquiloni.dmf.unicatt.it/) 4 00:00:18,000 --> 00:00:23,000 A. Musesti - M. Paolini 5 00:00:28,000 --> 00:00:31,000 Dipartiment di Matematiche e Fisiche 6 00:00:31,000 --> 00:00:34,000 Universitāt Catoliche - Brescia 7 00:00:38,000 --> 00:00:42,000 fat cun www.povray.org 8 00:00:55,000 --> 00:01:01,000 La tasselazion di Penrose e je une maniere NO PERIODICHE par jemplā il plan 9 00:01:01,000 --> 00:01:07,000 doprant dōs figuris: l'ACUILON (planelis claris) e la FRECE (planelis scuris) 10 00:01:07,000 --> 00:01:13,000 In veretāt la particolaritāt di cheste tasselazion e je la APERIODICITĀT des figuris: 11 00:01:13,000 --> 00:01:19,000 di fat, cun chestis figuris, NOL E' PUSSIBIL jemplā il plan in mūt PERIODIC. 12 00:01:19,000 --> 00:01:23,000 O viodarģn plui indenant ce che e je une TASSELAZION PERIODICHE 13 00:01:23,000 --> 00:01:27,000 e o varģn di zontā dai VINCUI DI ADIACENCE 14 00:01:27,000 --> 00:01:30,000 par garantī la proprietāt di aperiodicitāt 15 00:01:30,000 --> 00:01:35,000 costruzion de frece e dal acuilon 16 00:01:36,000 --> 00:01:42,000 I doi tassei 'acuilon' e 'frece' si puedin costruī tacant di un 17 00:01:42,000 --> 00:01:48,000 decagon regolār di lāt 1 e rai 1,618 cirche (rapuart auri) 18 00:01:48,000 --> 00:01:52,000 cu la costruzion che si viōt inte animazion 19 00:01:55,000 --> 00:02:01,000 al č curiōs notā che o tornģn a cjatā simpri il rapuart auri. 20 00:02:05,000 --> 00:02:10,000 Cheste e je la FRECE 21 00:02:13,000 --> 00:02:18,000 e chest al č l'ACUILON 22 00:02:20,000 --> 00:02:25,000 tasselazion periodiche 23 00:02:25,000 --> 00:02:31,000 Al č avonde facil jemplā il plan cun chestis dōs figuris: 24 00:02:31,000 --> 00:02:37,000 di fat, par vie de lōr costruzion, lis dōs planelis si puedin meti dongje 25 00:02:37,000 --> 00:02:43,000 di mūt di formā une losanghe (di lāt 1,618...) 26 00:02:43,000 --> 00:02:49,000 Ma in cheste maniere o vin jemplāt il plan in mūt PERIODIC: 27 00:02:49,000 --> 00:02:55,000 di fat, come che e mostre la animazion, lis planelis si puedin traslā in plui direzions, 28 00:02:55,000 --> 00:03:01,000 e il risultāt de traslazion no si pues distingui de situazion iniziāl. 29 00:03:05,000 --> 00:03:11,000 Par vź une tasselazion PERIODICHE a coventin almancul dōs traslazions cun direzions diferentis 30 00:03:11,000 --> 00:03:17,000 cun cheste proprietāt di invariance. 31 00:03:25,000 --> 00:03:33,000 Une tasselazion fate cun losanghis e ą ancje altris simetriis, tant che, par esempli, lis rotazions di 180 grāts 32 00:03:35,000 --> 00:03:41,000 dut cās cheste no je une simetrie de nestre tasselazion periodiche 33 00:03:45,000 --> 00:03:51,000 di fat la disposizion dai colōrs e risulte diferente di chź iniziāl. 34 00:04:06,000 --> 00:04:11,000 Atenzion: lis simetriis a ąn di cjapā dentri DUTE la tasselazion e no dome une planele singule. 35 00:04:11,000 --> 00:04:16,000 Cheste tasselazion nus da il grup di simetriis che inte cristalografie al č clamāt "cm". 36 00:04:16,000 --> 00:04:20,000 Si puedin otignī dutis lis (infinidis) simetriis cu la combinazion di dōs traslazions 37 00:04:20,000 --> 00:04:24,000 e di une riflession rispiet a une rete verticāl. 38 00:04:25,000 --> 00:04:30,000 Naturalmentri si puedin fā ancje altris sieltis pai "gjeneradōrs". 39 00:04:30,000 --> 00:04:35,000 La rotazion di 180 grāts rispiet a une losanghe invezit no va ben! 40 00:04:35,000 --> 00:04:40,000 Gjave il cās di une tasselazion fate dome di losanghis, 41 00:04:40,000 --> 00:04:45,000 li che si cjate il grup di simetrie "cmm" 42 00:04:55,000 --> 00:05:00,000 imposizion dai vincui di adiacence 43 00:05:00,000 --> 00:05:06,000 Par rindi impussibile cheste soluzion o podģn sacomā lis planelis come lis tessaris di un puzzle 44 00:05:06,000 --> 00:05:09,000 come che e mostre la animazion. 45 00:05:12,000 --> 00:05:18,000 Di cumņ indenant o pensarģn simpri lis planelis cun cheste carateristiche, ancje cuant che no sarą visualizade. 46 00:05:24,000 --> 00:05:29,000 provģn... e tornģn a provā 47 00:05:30,000 --> 00:05:36,000 Duncje nol č plui pussibil meti dongje l'acuilon e la frece par fā une losanghe, 48 00:05:36,000 --> 00:05:42,000 ma forsit si pues ancjemņ jemplā il plan par tentatīfs. 49 00:05:59,000 --> 00:06:05,000 Cemūt podģno jessi sigūrs che al sedi PARDABON pussibil jemplā il plan cence lassā busis? 50 00:06:07,000 --> 00:06:13,000 Ben, o mostrarģn cumņ un mūt operatīf par fālu. 51 00:06:13,000 --> 00:06:18,000 planelis crevadis 52 00:06:18,000 --> 00:06:23,000 La prime operazion di fā e je chź di CREVĀ lis planelis di mūt di otignī doi triangui isosselis. 53 00:06:23,000 --> 00:06:29,000 ACUILON: doi triangui isosselis acūts. 54 00:06:29,000 --> 00:06:35,000 FRECE: doi triangui isosselis otūs. 55 00:06:38,000 --> 00:06:43,000 triangui di aur 56 00:06:43,000 --> 00:06:49,000 La animazion e mostre che i triangui otignūts a ąn i lāts che a rispietin il rapuart auri. 57 00:06:51,000 --> 00:06:57,000 Triangui acūts (acuilon): base = 1, lāt = 1,618... 58 00:07:03,000 --> 00:07:08,000 Triangui otūs (frece): lāt = 1, base = 1,618... 59 00:07:08,000 --> 00:07:13,000 sudivision 60 00:07:26,000 --> 00:07:32,000 La idee e je chź di dividi i tocs triangolārs in copiis plui piēulis di lōr stes 61 00:07:43,000 --> 00:07:47,000 Triangui acūts: doi triangui acūts e un triangul otūs 62 00:07:47,000 --> 00:07:55,000 Triangui otūs: un triangul otūs e un triangul acūt 63 00:07:58,000 --> 00:08:03,000 deflazion inflazion 64 00:08:04,000 --> 00:08:07,000 Metģn cumņ in vore il procediment... 65 00:08:07,000 --> 00:08:12,000 Si scomence cuntune cualsisei disposizion iniziāl (assiome), 66 00:08:12,000 --> 00:08:18,000 par esempli cuntun decagon fat di 5 acuilons 67 00:08:19,000 --> 00:08:25,000 Cumņ metģn in vore il procčs di sudivision par ognidun dai triangui par vź cussģ une sudivision plui fisse 68 00:08:27,000 --> 00:08:33,000 Notģn che i gnūfs triangui a tornin a componi frecis e acuilons 69 00:08:35,000 --> 00:08:39,000 In fin ripuartģn dutis lis planelis a la dimension origjināl 70 00:08:39,000 --> 00:08:42,000 e tornģn a meti in vore il procediment une seconde volte. 71 00:08:43,000 --> 00:08:47,000 Cumņ o vin ancje triangui otūs di sudividi. 72 00:08:49,000 --> 00:08:55,000 La procedure e rispiete i vincui di adiacence fra i tassei 73 00:08:56,000 --> 00:08:59,000 Ripuartģn di gnūf dutis lis planelis a la dimension origjināl. 74 00:09:00,000 --> 00:09:03,000 Tierce iterazion... 75 00:09:20,000 --> 00:09:23,000 Cuarte... 76 00:09:33,000 --> 00:09:39,000 O cjatģn un decagon centrāl compagn a chel de configurazion iniziāl! 77 00:09:40,000 --> 00:09:43,000 Cuinte iterazion... 78 00:10:00,000 --> 00:10:03,000 Seste... 79 00:10:15,000 --> 00:10:18,000 Setime... 80 00:10:27,000 --> 00:10:30,000 Otave... 81 00:10:33,000 --> 00:10:39,000 Si pues lā indenant planelant une aree simpri plui grande. 82 00:10:44,000 --> 00:10:50,000 Ve chi il risultāt dopo nūf iterazions 83 00:10:50,000 --> 00:10:56,000 In sostance o vin cjatāt un procediment par tasselā dut il plan rispietant i vincui di adiacence 84 00:10:59,000 --> 00:11:04,000 simetriis de tasselazion 85 00:11:05,000 --> 00:11:10,000 Par vie de sielte iniziāl (decagon cun 5 acuilons) la planelazion 86 00:11:10,000 --> 00:11:16,000 e varą une simetrie rotazionāl (cun rotazions di 72 grāts) 87 00:11:22,000 --> 00:11:28,000 e ancje des simetriis assiāls (riflessions rispiet a 5 retis che a passin pal centri) 88 00:11:28,000 --> 00:11:34,000 come che si pues capī cjalant chescj moviments. 89 00:11:40,000 --> 00:11:46,000 Lis simetriis a son in dut 10 e a formin il grup diedrāl "D5" (simetriis di un pentagon). 90 00:11:48,000 --> 00:11:55,000 Chest grup al pues jessi gjenerāt di une rotazion di 72 grāts ... 91 00:11:55,000 --> 00:12:02,000 ... e di une riflession fate rispiet a une rete sielzude in maniere oportune che e passe pal centri. 92 00:12:12,000 --> 00:12:17,000 uciei... e retii 93 00:12:17,000 --> 00:12:23,000 Si pues ancje cambiā un pōc la forme des FRECIS e dai ACUILONS di mūt di otignī une forme di fantasie 94 00:12:23,000 --> 00:12:26,000 cuntun stīl simil a chel dai disens di Escher 95 00:12:32,000 --> 00:12:35,000 Doprģn chestis gnovis figuris par jemplā il plan... 96 00:12:36,000 --> 00:12:42,000 il risultāt dut cās al ą une struture compagne a chź de tasselazion fate cu lis FRECIS e cui ACUILONS. 97 00:13:10,000 --> 00:13:16,000 Ve chi il risultāt dopo cinc iterazions de tecniche di deflazion/inflazion 98 00:13:16,000 --> 00:13:21,000 losanghis largjis, losanghis sutilis 99 00:13:21,000 --> 00:13:26,000 Une alternative interessante si ą invezit sielzint in maniere oportune dōs losanghis diferentis 100 00:13:27,000 --> 00:13:31,000 la animazion nus mostre dut cās une relazion une vore strente cul cās des Frecis e dai Acuilons 101 00:13:32,000 --> 00:13:36,000 Lis losanghis a son dividudis in doi triangui isosselis 102 00:13:36,000 --> 00:13:42,000 che a son compagns di chei za cjatāts, fūr che pes proporzions. 103 00:14:00,000 --> 00:14:06,000 Si pues meti in vore un procediment di deflazion/inflazion basantsi suntune oportune division dai triangui auris 104 00:14:06,000 --> 00:14:10,000 simile a chź za doprade pes Frecis e pai Acuilons 105 00:14:10,000 --> 00:14:14,000 Daspņ sīs iterazion dal gnūf procediment di deflazion/inflazion 106 00:14:14,000 --> 00:14:20,000 scomenēant cuntune oportune configurazion iniziāl 107 00:14:20,000 --> 00:14:26,000 o vin cheste tasselazion fate di losanghis... 108 00:14:55,000 --> 00:15:00,000 la tasselazion origjināl di Penrose 109 00:15:00,000 --> 00:15:06,000 Roger Penrose al ą provāt a dividi un grant pentagon regolār in sīs pentagons plui piēui 110 00:15:06,000 --> 00:15:10,000 che a ąn il lāt compagn al cuadrāt dal rapuart auri rispiet al pentagon grant. 111 00:15:10,000 --> 00:15:14,000 Cu la ripetizion dal procediment si viōt che a restin des busis 112 00:15:14,000 --> 00:15:18,000 cualchidune e ą forme pentagonāl, e duncje e pues jentrā inte procedure di sudivision, 113 00:15:18,000 --> 00:15:24,000 cualchidune altre invezit e ą une forme diferente: di losanghe, di corone e di stele. 114 00:15:24,000 --> 00:15:30,000 I trź colōrs doprāts pai pentagons nus judin a marcā i vincui di adiacence 115 00:15:30,000 --> 00:15:33,000 che nus garantissin di otignī une tasselazion no periodiche. 116 00:15:33,000 --> 00:15:39,000 In cheste maniere si ą un insieme di sīs tassei che a ąn la proprietāt di aperiodicitāt. 117 00:15:39,000 --> 00:15:48,000 Ancjemņ in dģ di vuź no si sa se e esist une singule planele che e ą la proprietāt di aperiodicitāt! 118 00:15:50,000 --> 00:15:54,000 Frecis e acuilons intal cīl de matematiche 119 00:15:54,000 --> 00:15:58,000 Intal 1974 Roger Penrose al ą ideāt lis tasselazions che a puartin il so non, 120 00:15:58,000 --> 00:16:02,000 dulą che la matematiche, la gjeometrie, la fisiche e la art si cjatin insieme in mūt sorprendent 121 00:16:02,000 --> 00:16:06,000 La realizazion di cheste curte animazion e je stade une sfide impegnative ma cetant divertente.